77. 组合

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

示例 1：

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输入：n = 4, k = 2
输出：
[
  [2,4],
  [3,4],
  [2,3],
  [1,2],
  [1,3],
  [1,4],
]

示例 2：

1
2
输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]

提示：

  • 1 <= n <= 20
  • 1 <= k <= n

思路：

回溯算法

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构来理解，如下图

77.组合

其中n（集合长度）相当于树的宽度，k（组合子集的长度）相当于树的深度。

每次搜索到叶子结点，就找到了一个子集结果，然后只要把所有的从根节点搜索到叶子结点的路径收集起来，就可以求出结果集。

回溯三部曲：

  1. 递归函数的返回值以及参数
    1. 返回值，一般递归函数的返回值都为空
    2. 参数：
      1. n：集合中元素个数，遍历宽度（for循环宽度）
      2. k：组合子集中元素个数，遍历深度（递归深度）
      3. startIndex：用于记录下一层递归搜索的起始位置
  2. 回溯终止条件
    1. 从根节点到达叶子节点即结束本层递归
    2. 也就是说path数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径
  3. 单层搜索逻辑
    1. for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i
    2. 然后通过递归函数不断调用自己 一直往深处遍历，直到遇到了叶子节点再返回。
    3. 回溯操作，比如这次的遍历结果是{1,2}，这个结果已经保存在结果集res中了，但是我们还要遍历{1,3}，{1,4}，所以需要进行回溯，把2剔除，然后3，4才能进去。

回溯算法模板：

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void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
         // 递归
        backtracking(路径，选择列表);
        回溯，撤销处理结果
    }
}

代码：

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//单条路径
public LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
//路径结果集
public List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();

public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
    backtracking(n, k, 1);
    return res;
}

public void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
    //******************************************************//
    //回溯终止条件，单条路径大小达到k，说明找到了一个子集大小为k的组合
    if (path.size() == k) {
        res.add(new ArrayList<>(path));
        return;
    }

    //******************************************************//

    //单层搜索过程,从startIndex开始遍历
    for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
        path.add(i);
        backtracking(n, k, i + 1);
        //回溯，撤销当前处理的节点
        path.removeLast();
    }
}

剪枝：

来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了，因为从元素2到元素4一共才三个元素，构不成一个4位的集合。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

如图：

77.组合4

也就是说：

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

优化过程：
  1. 已经选择了的元素个数：path.size();
  2. 还需要选择的元素个数：k - path.size();
  3. 从集合n和还需要的元素个数(k - path.size)反推startIndex，可得在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1的地方开始遍历。

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代码优化：

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//单条路径
public LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
//路径结果集
public List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();

public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
    backtracking(n, k, 1);
    return res;
}

public void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
    //******************************************************//
    //回溯终止条件，单条路径大小达到k，说明找到了一个子集大小为k的组合
    if (path.size() == k) {
        res.add(new ArrayList<>(path));
        return;
    }

    //******************************************************//

    //单层搜索过程,从startIndex开始遍历
    for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) {
        path.add(i);
        backtracking(n, k, i + 1);
        //回溯，撤销当前处理的节点
        path.removeLast();
    }
}

参考自代码随想录：https://programmercarl.com/0077.%E7%BB%84%E5%90%88.html#%E5%89%AA%E6%9E%9D%E4%BC%98%E5%8C%96